HIMPUNAN MATEMATIKA

 Himpunan matematika dapat didefinisikan sebagai sebuah kumpulan dari beberapa objek baik itu benda abstrak maupun benda real (nyata) yang dapat didefinisikan dengan jelas. Artinya benda-benda tersebut jelas adanya dan memiliki keterangan yang jelas. Salah satu contoh himpunan adalah kumpulan mahasiswa jurusan matematika FMIPA Universitas Lampung atau Kumpulan siswa kelas 6 SD Pelita Harapan. Intinya kumpulan tersebut didefinisikan dengan jelas. Berbeda dengan kumpulan anak yang berambut gondrong atau kumpulan anak-anak pandai, itu tidak bisa disebut himpunan karena benda-benda tersebut tidak didefinisikan dengan jelas dan tidak merujuk pada objek tertentu yang jelas keberadaannya.

Untuk mengetahui lebih jauh mengenai himpunan dalam matematika, simak pembahasan di bawah ini:

Pengertian, Teori, Konsep dan Jenis Himpunan Matematika

Notasi Himpunan

sebuah himpunan biasanya dinyatakan dengan simbol simbol tertentu, biasanya sebuah himpunan dinyatakan dengan menggunakan huruf besar/kapital seperti A, B, C, D, E, dst. atau bisa juga ditandai dengan adanya kurung kurawal, {…} sedangkan anggota dari himpunan tersebut biasanya ditandai dengan menggunakan huruf alfabet kecil seperti a,b,c,d,e, dst. 

Untuk menyatakan sebuah himpunan, ada 4 buah cara yang bisa dilakukan. yaitu:

Enumerasi

Enumerasi adalah cara menyatakan himpunan dengan menuliskan seluruh anggota himpunan di dalam kurung kurawal. Setiap anggota di dalamnya dipisahkan dengan tanda koma. Misalnya: x = {s,a,p,i}

Simbol baku

Ada beberapa simbol tertentu yang sudah disepakati untuk menyatakan sebuah himpunan. sebagai contoh, simbol P biasanya digunakan utnuk menyatakan himpunan bilangan bulat positif, sedangkan huruf R digunakan untuk menyatakan sebuah himpunan yang berisi bilangan riil.

Notasi pembentukan himpunan

himpunan juga bis dinyatakan dengan cara menulis ciri-ciri umum dari anggota yang ada di dalam himpunan tersebut. misalnya: A = {x|x adalah himpunan bilangan riil}

Diagram venn

adalah cara menyatakan sebuah himpunan dengan menggambarkannnya dalam bentuk grafis. masing masing himpunan digambarkan dalam sebuah lingkaran dan dilingkupi olah himpunan semesta yang dinyatakan dalam bentuk persegi empat seperti pada gambar berikut:

Selain diagram venn, ada juga diagram garis dan diagram cartess, berikut penjelasannya:

Diagram garis

Diagram diatas menyatakan bahwa A dan B merupakan himpunan bagian dari C.

Diagram Cartes

Rene Descartes menjelaskan suatu himpunan dalam bentuk garis bilangan seperti gambar di bawah ini:

Macam-macam himpunan

ada beberapa jenis himpunan yang dikenal di dalam dunia matematika, yaitu:

Himpunan kosong

Himpunan kosong merupakan sebuah himpunan yang tidak ada anggota di dalamnya, biasanya jenis himpunan ini dituliskan dengan simbol ø atau { }.

Himpunan Semesta

adalah hmpunan yang memuat atau mencakup keseluruhan anggota yang sedang dibahah, iasanya himpunan ini ditandai dengan huruf S.

Himpunan bilangan

himpunan bilangan terdiri dari:

Himpunan terhingga

Himpunan terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya masih terhingga, meliputi himpunan kosong dan himpunan yang memiliki n elemen. Contohnya:

X = {c, d, e, f} , Y = { }

Himpunan tak terhingga

Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak terhingga. Comtohnya himpunan bilangan ganjil atau genap, himpunan bilangan bulat, dsb.

Operasi pada himpunan matematika

                                      

Sifat-sifat operasi pada himpunan matematika

 

Contoh Soal 1:
Diketahui Himpunan A = {x|x < 7, x bilangan asli}, B = { lima bilangan ganjil yang pertama }.  Tentukan A ∩ B!

Jawab :
A = { 1,2,3,4,5,6 }
B = {1,3,5,7,9}
A ∩ B = {1,2,3,4,5,6} n {1,3,5,7,9}
= {1,3,5}

Jadi, A ∩ B = {1,3,5}


Contoh Soal 2:
Diketahui himpunan P = { x | x ≤  6, x bilangan cacah}, Q = { x| 1 ≤ x ≤ 8, x bilangan ganjil}, R = { x| 2 ≤ x ≤ 8, x bilangan asli} Tentukanlah P ∪ {Q ∩ R}!

Jawab :
P = { 0,1,2,3,4,5,6 }
Q ={ 1,3,5,7}
R = {2,3,4,5,6,7,8 }
Q ∩ R = {3,5,7}

P ∪ {Q ∩ R} = { 0,1,2,3,4,5,6 } ∪ {3,5,7}
         = { 0,1,2,3,4,5,6,7 }

Jadi, P∪ {Q ∩ R} = { 0,1,2,3,4,5,6,7 }


Contoh Soal 3:
Diketahui himpunan A = {x| x ≤  1, x bilangan asli}, B { x| x < 5, x bilangan cacah}. Tentukanlah
A – B !

Jawab : 
 A = { 1,2,3 dst…}
 B = { 0,1,2,3,4,5}
 A – B = { 1,2,3,4,5,6 dst…} - { 0,1,2,3,4,5}
 

= { 6,7 dst..}
= { x| x > 5, x bilangan asli}

Jadi , A – B = { x| x > 5, x bilangan asli}


Contoh Soal 4:
Diketahui S adalah himpunan semesta. P dan Q merupakan himpunan bagian dari S. S = { e,u,r,a, s,i, h, o, m} . P = {r, a, o}, Q = { s,e,r, m,a}. tentukanlah (P ∪ Q)c !

Jawab :P ∪ Q  = {r, a, o} u { s,e,r, m,a}.
            = {a, e, m, o,r, s}
(P ∪ Q)c = { u,i, h,}

Jadi, (P ∪ Q)c = { u,i, h,}


Contoh Soal 5:
P= faktor dari 8, Q = bilangan cacah kurang dari 8. Tentukanlah P ∩ Q !

Jawab : 
P = {1,2,4,8}
Q ={0,1,2,3,4,5,6,7,8}
P ∩ Q = {1,2,4,8} ∩ {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
= {1,2,4,8}

Jadi , P ∩ Q = {1,2,4,8}

- sumber : 

http://www.rumusmatematikadasar.com

http://www.rumusmatematikadasar.com

Read More

LOGIKA MATEMATIKA

 Logika matematika adalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal paling penting yang akan kalian dapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah. Materi logika matematika yang akan dibahas kali ini adalah mengenai pernyataan, negasi , disjungsi , konjungsi , implikasi , biimplikasi, tautologi , kontradiksi , dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.

Setelah mengetahui apa itu logika matematika, kini kita mulai pembahasan materi mengenai hal-hal yang termasuk ke dalam logika matematika seperti yang ada di bawah ini:

Logika matematika

Pernyataan

Pernyataan di dalam logika matematika adalah sebuah kalimat yang di dalamnya terkandung nilai-nilai yang dapat dinyatakan 'benar' atau 'salah' namun kalimat tersebut tidak bisa memiliki kedua-duanya (salah dan benar). Sebuah kalimat tidak bisa kita nyatakan sebagai sebuah pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah dan bersifat relatif. Di dalam logika matematika di kenal dua jenis pernyataan yaitu pernyataan tertuutp dan terbuka.

Pernyataan tertututp adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar-salahnya.

Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai benar salahnya.

Agar lebih mudah memahaminya, perhatikan contoh berikut ini:

• 30 + 5 = 35 (sudah pasti benar/pernyataan tertutup)
• 30 x 5 = 200 (sudah pasti salah/pernyataan tertutup)
• Buah maja rasanya pahit (harus dibuktikan dahulu/ pernyataan terbuka)
• Jarak antara anyer dan jakarta adalah jauh (pernyataan relatif)

Negasi / pernyataan ingkaran

Negasi atau biasa disebut dengan ingkaran adalah kalimat berisi sanggahan, sangkalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menuliskan kata-kata 'tidak benar bahwa...' di depan pernyataan yang disangkal/sanggah,. Seperti pada contoh yang ada di bawah ini:

Pernyataan A : 

Becak memiliki roda tiga buah

Negasi dari pernyataan A : 

Tidak benar bahwa becak memiliki roda tiga buah

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi berikut masing-masing penjelasannya:

Konjungsi

Di dalam logika matematika, dua buah pernyataan dapat digabungkan dengan menggunakan simbol (^) yang dapat diartikan sebagai ‘dan’ . Tabel berikut ini menunjukan logika yang berlaku dama sistem konjungsi:

p	q	P ^ q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
B	S	S	Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
S	B	S	Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
S	S	S	Jika p salah dan q salah  maka p dan q adalah salah

Dari table di atas dapat diambil kesimpulan bahwa di dalam konsep konjungnsi, kedua pernyataan haruslah benar agar dapat dianggap benar selain itu pernyataan akan dianggap salah.

Disjungsi

Selain menggunakan 'dan', dua buah pernyataan di dalam logika matematika dapat dihubungkan dengan simbol (v) yang diartikan sebagai 'atau'. Untuk memahaminya, perhatikan tabel di bawah ini:

p	q	P v q	Logika matematika
B	B	B	Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B	S	B	Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
S	B	B	Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
S	S	S	Jika p salah dan q salah  maka p atau q adalah salah

Karena di dalam disjungsi menggunakan konsep ‘atau’ artinya apabila salah satu atau kedua pernyataan memiliki nilai benar maka logika matematikanya akan dianggap benar. Pernyataan akan dianggap salah bila keduanya memiliki nilai salah.

Implikasi

Implikasi merupakan logika matematika dengan konsep kesesuaian. Kedua pernyataan akan dihubungkan dengan menggunakan simbol ( => ) dengan makna 'jika p ... Maka q ...'. Untuk lebih jelasnya akan dijelaskan dalam tabel berikut:

p	q	p => q	Logika matematika
B	B	B	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
B	S	S	Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
S	B	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
S	S	B	Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR

Biimplikasi

Di dalam biimplikasi, pernyataan akan dianggap benar bila keduanya memilki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Selain itu maka pernyataan akan dianggap salah. Biimplikasi ditunjukan dengan symbol (ó) dengan makna ‘ p ….. Jika dan hanya jika q …..'

p	q	p ó q	Logika matematika
B	B	B	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
B	S	S	P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
S	B	S	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
S	S	B	P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)

Ekuivalensi pernyataan majemuk

Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu seperti yang ada pada gambar di bawah ini:

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konsep ini dapat diterapkan dalam sebuah pernyataan implikasi. Setiap pernyataan implikasi memiliki sifat Konvers, Invers dan Kontraposisi seperti yang ada pada gambar bawah ini:

Kuantor pernyataan

Pernyataan berkuantor adalah bentuk pernyataan di mana di dalamnya terdapat konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor yaitu kuanor universal dan kuantor eksistensial.

Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua.

Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.

Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor juga memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu jugas sebaliknya. Seperti pada contoh di bawah ini:

Penarikan Kesimpulan

Kesimpulan dapat dilakukan dengan menelaah premis atau pernyataan-pernyataan yang kebenarannya telah dketahui. Perhatikan beberapa konsep penarikan kesimpulan di dalam logika matematika berikut ini:

Soal 1

Coba kalian tentukan negasi dari beberapa pertanyaan di bawah ini:

A. Kemarin Bandar Lampung hujan.

B. Amir anak pintar.

C. Kura-kura memiliki sayap.

D. Guru SMA Taruna Jaya memakai batik pada hari Kamis.

Pembahasan:

Negasi adalah ingkaran atau dari sebuah pernyataan atau hal yang bertolak belakang dengan pernyataan tersebut, maka:

A. Tidak benar bahwa kemarin Bandar Lampung hujan.

B. Tidak benar bahwa Amir anak pandai.

C. Tidak benar bahwa kura-kura memiliki sayap.

D. Tidak benar bahwa guru SMA Taruna Jaya memakai batik pada hari Kamis.

Atau bisa juga diubah menjadi:

A. Kemarin Bandar Lampung tidak hujan.

B. Amir bukan anak pintar.

C. Kura-kura tidak memiliki sayap.

D. Guru SMA Taruna Jaya tidak memakai batik pada hari Kamis.

Soal 2

Tentukanlah negasi dari pernyataan-pernyataan di bawah ini:

A. p = Semua karyawan memakai seragam biru pada hari Jum'at.

B. p = Semua murid mengikuti ujian nasional hari ini.

C. p = Semua jenis ikan bernafas dengan insang.

Pembahasan:

Di dalam negasi, kata-kata "semua/setiap" diganti dengan kata "beberapa/ada" maka jawaban dari soal di atas adalah:

A. ~p = Ada karyawan yang tidak memakai seragam biru pada hari Jum'at.

B. ~p = Beberapa murid tidak mengikuti ujian nasional hari ini.

C. ~p = Beberapa jenis ikan tidak bernafas dengan insang.

Soal 3

Coba kalian ubah pasangan-pasangan pernyataan di bawah ini menjadi pernyataan majemuk dengan operasi majemuk (dan):

A. p: Hari ini surabaya cerah

     q: Hari ini surabaya udaranya sejuk

B. p: Gilang mengenakan baju merah

     q: Gilang mengenakan topi hitam

C. p: Bejo pandai dalam pelajaran matematika

     q: Bejo pandai dalam pelajaran kimia

Pembahasan:

Pada operasi konjungsi, pernyataan positif dapat digabungkan dengan kata "dan" serta menghilangkan kata-kata yang sama, maka:

A. p^q : Hari ini surabaya cerah dan udaranya sejuk.

B. p^q : Gilang mengenakan baju merah dan topi hitam

C. p^q : Bejo pandai dalam pelajaran matematika dan kimia

Jika pernyataannya bertolak belakang, kita bisa mengganti kata "dan" dengan kata "meskipun" ataupun "tetapi".

Soal 4

Amati pernyataan berikut ini:

p : Hari ini ahmad pergi ke toko buku

q : Hari ini ahmad pergi ke supermarket

Ubah kedua pernyataan diatas dengan logika matematika di bawah ini:

A. P^q

B. P^~q

C. ~p^q

D. ~p^~q

Pembahasan:

A. Hari ini Ahmad pergi ke toko buku dan supermarket

B. Hari ini Ahmad pergi ke toko buku dan tidak ke supermarket

C. Hari ini Ahmad tidak pergi ke toko buku tetapi ke supermarket

D. Hari ini Ahmad tidak pergi ke toko buku dan tidak ke supermarket

Soal 5

Gabungkanlah beberapa pernyataan di bawah ini dengan operasi disjungsi (atau):

A. P: Rani pergi ke pasar

     q: Rani menanak nasi

B. p: Dani mengajar Bahasa Indonesia

     q: Dani mengajar Matematika

Pembahasan:

A. pvq = Rani pergi ke pasar atau menanak nasi

B. pvq = Dani mengajar bahasa indonesia atau matematika

Soal 6

Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di bawah ini:

"Jika hari ini hujan maka Wayan mengendarai mobil"

Pembahasan:

Pernyataan di atas adalah implikasi p -> q sehingga:

p: Hari ini hujan

q: Wayan mengendarai mobil

Konvers dari pernyataan tersebut adalah q -> p

"Jika Wayan mengendarai mobil maka hari ini hujan"

Invers dari pernyataan di atas adalah ~p -> ~q

"Jika hari ini tidak hujan maka Wayan tidak mengendarai mobil"

Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah ~q -> ~p

"Jika Wayan tidak mengendarai mobil maka hari ini tidak hujan"

Soal 7

Tentukan kesimpilan dari premis berikut:

Premis 1 : Jika Panji rajin belajar maka ia lulus ujian

Premis 2 : Jika Panji lulus ujian maka ia masuk universitas

Pembahasan:

Kita gunakan prinsip silogisme

p -> q

q -> r

________

∴ p → r

Maka kesimpulannya adalah : "Juka Panji rajin belajar maka ia masuk universitas"

Soal 8

Tentukanlah kesimpulan dari dua buah premis berikut:

premis 1 : Jika harga BBM turun maka harga cabai turun

premis 2 : Harga cabai tidak turun

Pembahasan:

p: Harga BBM turun

q: Harga cabai turun

kita simpulkan dengan menggunakan modus Tollens

p → q

~q

_______

∴ ~p

Maka kesimpulan dari premis di atas adalah "Harga BBM tidak turun"

Demikianlah pembahasan sederhana dari saya mengenai Logika Matematika dan beragam konsep yang ada di dalamnya. semoga kalian dapat memahaminya dengan baik.

- Sumber : http://www.rumusmatematikadasar.com

Read More